W notce tej nie chodzi o grecki poziom długów - to jest notka na poziomie greckim* - a więc nie wolno całkować, różniczkować, ani używać nieskończoności i przechodzenia do granicy! Wolno używać tylko cyrkla i linijki. Oto zagadka na poziomie greckim:
Weźmy dowolny czworościan i wybierzmy na każdej ścianie po jednym punkcie i połączmy te punkty. Punkty te mogą utworzyć kwadrat. Czy istnieje taki czworościan, na którego ścianach nie da się w żaden sposób wybrać takich czterech punktów, by leżały na tej samej płaszczyźnie, każdy na innej ścianie i by tworzyły kwadrat? Proszę albo wskazać taki czworościan, albo udowodnić, że nie istnieje. Albo udowodnić, że istnieje bez wskazywania.
* - poziom grecki to poziom wiedzy, na jakim operowali starożytni Grecy. Niektórzy nazywają to „poziomem gimnazjalnym”, ale to jest niesłuszne nazewnictwo! Nie powinniśmy się posługiwać słownictwem zamordystycznych państw, bo w ten sposób utrwalamy ten zamordyzm! Poziom grecki był dobry, bo mieli oni wiele państw, a tworzyli jedną spójną cywilizację helleńską. Powinniśmy do tego dążyć!
Ale powstaje pytanie czy można rozwiązywać zagadki ograniczając sobie celowo sposoby, których można użyć? Czy to ma sens? Grecy nie potrafili całkować, a jednak wiele w matematyce dokonali. Na przykład bez całkowania potrafili wyliczyć objętość kuli.
Archimedes ładnie wyprowadził wzór na objętość kuli na podstawie objętości stożków w walcu - posługując się intuicją nalewania wody do naczyń. Otóż jeśli weźmiemy kulę, oraz obok walec o średnicy podstawy i wysokości takiej, jak średnica tej kuli, i wytniemy z niego dwa stożki o wierzchołkach w środku i podstawach na obu kołach podstaw górnej i dolnej walca, to to co pozostanie będzie mieć taką samą objętość co kula, bo gdy do obu naczyń będziemy nalewać wodę w tym samym tempie, to i w kuli i w tym wyciętym walcu powierzchnia wody cały czas będzie taka sama – w kuli to będą coraz większe, a potem coraz mniejsze koła, a w walcu bez stożków będzie to koło z wyciętym w środku coraz mniejszym, a potem coraz większym kołem - a zatem nalejemy tyle samo wody - poziom wody w obu naczyniach będzie wzrastał w tym samym tempie. Czy to poprzednie zdanie nie wyszło mi za długie? Czy jest zrozumiałe? Jak ktoś nie zrozumiał, to informuję, że ten sposób został uogólniony w XVII wieku i został nazwany
Zasadą Cavalieriego.
Czy warto rozwiązywać zadania ograniczając się do poziomu greckiego? Moim zdaniem czasem dobrze jest, gdy się umie rozwiązać coś prostszymi metodami - dajmy na to wyznaczyć kurs, czy pozycję jachtu na oceanie, przy pomocy kompasu, albo sekstantu, a nie GPS-a.
Niedługo wybuchnie wojna z Koreą i satelity GPS zostaną wyłączone albo przekłamane. A sekstantu nie oszukają, gwiazd nie wyłączą. Warto więc umieć rozwiązywać zadania na poziomie greckim, czyli na poziomie bez prądu. Warto się uniezależnić od współczesnych zamordystycznych państw, które na prądzie są oparte!
Grzegorz GPS Świderski
PS. Przypominam, że poziom grecki, to wcale nie jest jakiś niski, słaby, prymitywny poziom. By to uzasadnić zacytuję fragment świetnej książki Marka Kordosa pod tytułem: „Wykłady z historii matematyki”:
"(...) Jedną z najistotniejszych części aleksandryjskiego Muzeum była wielka biblioteka.
Ponoć pierwszym dyrektorem tej biblioteki został Euklides. Jest zdumiewające, jak mało o nim wiemy. Pisze się, że był z Megary (ale to w wyniku pomylenia go z innym Euklidesem), podaje się daty jego życia (przeważnie -365; -300), twierdzi się, że odbył studia w Akademii Platońskiej (no, bo każdy szanujący się uczony tych czasów...), że miał znaczące wykształcenie w zakresie starożytnej (już wówczas) wiedzy egipskiej (bo Aleksandria leży w Egipcie) itd. Wszelkie jednak próby potwierdzenia którejkolwiek z tych informacji choćby z dwóch źródeł kończą się niepowodzeniem. To, co wiemy, sprowadza się do faktu, że ok. -300 roku napisał dzieło znane powszechnie pod tytułem łacińskim "Elementy".
"Elementy" są najdonioślejszym dziełem naukowym świata. Pod względem liczby wydań ustępują, spośród wszystkich książek, jedynie Biblii. Samych wydań drukiem naliczono ponad 1000. Pierwsze drukowane wydanie "Elementów" dokonane zostało w Wenecji w 1482 roku. Jest to tłumaczenie łacińskie Campanusa dokonane z tekstu arabskiego. Gdyby ktoś chciał je zobaczyć, to (po uzyskaniu stosownego zezwolenia) znajdzie je w bibliotece Uniwersytetu Jagiellońskiego, gdzie (natychmiast po wydrukowaniu) zostało dostarczone przez wydawcę - cóż były kiedyś czasy, gdy Polska mocarstwem była. (…)
"Elementy" stanowią pełny, aksjomatyczny wykład całej matematyki w stanie, do jakiego doprowadzono ją w Grecji helleńskiej. O tym, jak wysoki jest to stan i jak wysoki jest stopień jasności wykładu, świadczy fakt, że do końca XIX wieku w wielu krajach były one używane jako podręcznik szkolny - z "Elementów" uczył się w angielskiej szkole jeszcze Bertrand Russell. Znaczenie "Elementów" było jednak znacznie szersze - przez ponad dwa tysiące lat stanowiły one obowiązujący we wszystkich dyscyplinach wzorzec ścisłości naukowej, wzorzec metodologii dedukcyjnej. Zamiast ścisłość naukowa mówiono zrobione more geometrico, np. nic z matematyką nie mające wspólnego dzieło Barucha Spinozy zostało przez autora zatytułowane: Ethica modo geometrico exposita.
Doskonałość techniczna "Elementów" jest tak ogromna, że pierwsza faktyczna usterka została w "Elementach" znaleziona dopiero pod koniec XIX wieku (Moritz Pasch - patrz wykład XXI). Wiele z dowodów zamieszczonych w "Elementach" do dziś zachwyca swoją pomysłowością i elegancją (choćby przytoczona w wykładzie III konstrukcja piętnastokąta). Słowem - jest to dzieło ważne i piękne.(...)"
