Na naszej liście z
zagadkami napisałem kiedyś zadanie o
trójkącie. Można je uogólnić tak: weźmy dowolny wypukły wielokąt W1 o n bokach i wybierzmy wewnątrz niego wypukły wielokąt W2 też o n bokach, taki, że W1 i W2 się nie pokrywają, są różne, czyli istnieje taki punkt należący do W1, który nie należy do W2. Ale W2 całkowicie zawiera się w W1, czyli wszystkie punkty należące do W2 należą też do W1. Czyli mamy dwa wielokąty wypukłe o tej samej liczbie boków, takie, że jeden jest w drugim. Czyli W1 jest większy, a W2 jest mniejszy. Ale co to znaczy? Oczywistym jest, że ten większy ma większe pole od mniejszego. To łatwo udowodnić. Oczywistym też jest to, że suma długości wszystkich boków tego mniejszego W2 jest mniejsza niż suma długości boków większego W1. Ale nie jest łatwo to udowodnić. Potraficie? Dla trójkątów dowód jest w komentarzu pod wspomnianą wyżej notką. Dla trójkątów nie trzeba było zaznaczać, że są wypukłe, bo wszystkie trójkąty są wypukłe. Dla figur o większej liczbie boków założenie o wypukłości jest istotne.
No a teraz z 2D przejdźmy do 3D. Weźmy dowolny czworościan C1. Będzie on oczywiście wypukły, bo nie istnieje czworościan wklęsły. Wewnątrz wybierzmy dowolne 4 punkty, takie, żeby choć jeden z nich nie leżał na którymś z wierzchołków czworościanu C1 i takie, by żadne 3 z nich nie były współliniowe. Te cztery punkty wyznaczą czworościan C2, który w całości będzie zawierał się wewnątrz C1, a więc każdy punkt należący do C2 będzie należał też do C1. Czyli mamy dwa różne czworościany jeden w drugim - większy C1 i wewnąrz mniejszy C2. Ale co to znaczy większy i mniejszy? Oczywistym jest, że objętość C1 jest większa od objętości C2. To łatwo udowodnić. Ale czy suma długości wszystkich sześciu krawędzi większego C1 musi być zawsze większa od sumy długości wszystkich krawędzi mniejszego C2? Czy potraficie to udowodnić, albo ewentualnie wykazać, że to nieprawda? Czy mniejszy może mieć większą sumę długości wszystkich krawędzi?
Grzegorz GPS Świderski
